问题详情：
阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为 ；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为 ；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答：我选择 题．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= 
（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含m，n，b的式子表示）．
【回答】
【解答】解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH=
AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为：
=
=
；
故*为：
；
（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为：
=
，
故*为：
；
（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即
a：b=b：a，
∴a=
b；
故*为：
②每个小矩形
都是全等的，则其边长为b和
a，
则b：
a=a：b，
∴a=
b；
故*为：
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN=
b
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD：
b=a：b，
解得FD=
a，
∴AF=a﹣a=
a，
∴AG=
=
=a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即a：b=b：a
得：a=
b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD=
，
∴AF=a﹣
=
，
∴AG=
=
，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即
：b=b：a，
得：a=
b；
故*为：
或
；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN=
b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD：
b=a：b，
解得FD=
a，
∴AF=a﹣a，
∴AG=
=
=
a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即
a：b=b：a
得：a=
b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD：
b=b：a
解得FD=
，
∴AF=a﹣
，
∴AG=
=
，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即
：b=b：a，
得：a=
b；
故*为：
b或
b．
知识点：相似三角形
题型：解答题
