问题详情:
设函数y=x2+2kx+k﹣1(k为常数),下列说法正确的是( )
A.对任意实数k,函数与x轴都没有交点
B.存在实数n,满足当x≥n时,函数y的值都随x的增大而减小
C.k取不同的值时,二次函数y的顶点始终在同一条直线上
D.对任意实数k,抛物线y=x2+2kx+k﹣1都必定经过唯一定点
【回答】
D【考点】二次函数的*质.
【分析】A、计算出△,根据△的值进行判断;
B、根据二次函数的*质即可判断;
C、得到抛物线的顶点,写成方程组,消去k得y=﹣x2﹣x﹣1,即可判断;
D、令k=1和k=0,得到方程组,求出所过点的坐标,再将坐标代入原式验*即可;
【解答】解:A、∵△=(2k)2﹣4(k﹣1)=4k2﹣4k+4=4(k﹣)2+3>0,
∴抛物线的与x轴都有两个交点,故A错误;
B、∵a=1>0,抛物线的对称轴x=﹣=﹣k,
∴在对称轴的左侧函数y的值都随x的增大而减小,
即当x<k时,函数y的值都随x的增大而减小,
当n=﹣k时,当x≥n时,函数y的值都随x的增大而增大,故B错误;
C、∵y=x2+2kx+k﹣1=(x+k)2﹣k2+k﹣1,
∴抛物线的顶点为(﹣k,﹣k2+k﹣1),
∴,
消去k得,y=﹣x2﹣x﹣1
由此可见,不论k取任何实数,抛物线的顶点都满足函数y=﹣x2﹣x﹣1,
即在二次函数y=﹣x2﹣x﹣1的图象上.故C错误;
D、令k=1和k=0,得到方程组:,解得,
将代入x2+2kx+k﹣1得,﹣k+k﹣1=﹣,与k值无关,不论k取何值,抛物线总是经过一个定点(﹣,﹣),故D正确.
故选D.
【点评】本题考查了二次函数的*质,熟悉函数和函数方程的关系、函数的*质是解题的关键.
知识点:二次函数的图象和*质
题型:选择题