问题详情:
(2019·浙*中考模拟)婷婷在发现一个门环的示意图如图所示.图中以正六边形ABCDEF的对角线AC的中点O为圆心,OB为半径作⊙O,AQ切⊙O于点P,并交DE于点Q,若AQ=12cm,则该圆的半径为_____cm.
【回答】
3+
【解析】
连接OB,OP,
∵AB=BC,O为AC的中点,
∴OB⊥AC,
∵AQ是⊙O的切线,
∴OP⊥AQ,
设该圆的半径为r,
∴OB=OP=r,
∵∠ABC=120°,
∴∠BAO=30°,
∴AB=BC=CD=2r,AO=,
∴AC=,
∴sin∠PAO=,
过Q作QG⊥AC于G,过D作DH⊥QG于H,
则四边形DHGC是矩形,
∴HG=CD,DH=CG,∠HDC=90°,
∴sin∠PAO=,∠QDH=120°﹣90°=30°,
∴QG=12,
∴AG=,
∴QH=12﹣2r,DH=,
∴tan∠QDH=tan30°=,
解得r=3+,
∴该圆的半径为3+cm,
故*为3+.
【点睛】
本题考查了正多边形与圆,切线的*质,等腰三角形的*质,矩形的判定和*质,解直角三角形,正确的作出辅助线是解题的关键.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:填空题