问题详情:
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣2x﹣1.
(1)求f(x)的函数解析式;
(2)作出函数f(x)的简图,写出函数f(x)的单调区间及最值;
(3)当x的方程f(x)=m有四个不同的解时,求m的取值范围.
【回答】
【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数奇偶*的*质.
【专题】计算题;数形结合;函数的*质及应用.
【分析】(1)当x<0时,﹣x>0,由已知的函数式,结合偶函数的定义,即可得到x<0的表达式,进而得到f(x)的表达式;
(2)根据偶函数的图象关于原点对称,画出图象,由图象即可得到单调区间和最值;
(3)x的方程f(x)=m有四个不同的解,即有直线y=m与f(x)的图象有四个交点,结合图象即可得到m的取值范围.
【解答】解:(1)当x<0时,﹣x>0,
则当x≥0时,f(x)=x2﹣2x﹣1,
则f(﹣x)=(﹣x)2﹣2(﹣x)﹣1=x2+2x﹣1,
∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(﹣x)=x2+2x﹣1,
∴;
(2)函数f(x)的简图:
则单调增区间为[﹣1,0]和[1,+∞),
单调减区间为(﹣∞,﹣1]和[0,1];
当x=1或﹣1时,f(x)有最小值﹣2,无最大值;
(3)x的方程f(x)=m有四个不同的解,
即有直线y=m与f(x)的图象有四个交点,
由图象可知,m的取值范围是(﹣2,﹣1).
【点评】本题考查函数的解析式的求法,注意运用偶函数的定义,考查函数的图象,以及通过图象观察得到函数的*质,以及方程根的个数和函数的图象的交点个数的关系,属于中档题.
知识点:函数的应用
题型:解答题