问题详情:
已知f(x)是定义域为R的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x.
(1)求函数f(x)的解析式及其值域;
(2)设x0是方程f(x)=4﹣x的解,且x0∈(n,n+1),n∈Z,求n的值;
(3)若存在x≥1,使得(a+x)f(x)<1成立,求实数a的取值范围.
【回答】
显然x=0不是方程f(x)=4﹣x的解.
当x<0时,g(x)=﹣2﹣x+x﹣4<0,
∴方程f(x)=4﹣x无负数解
当x>0时,g(x)=2x+x﹣4单调递增,所以函数g(x)至多有一个零点
又g(1)=﹣1<0,g(2)=2>0,由零点存在*原理知g(x)在区间(1,2)上至少有一个零
故g(x)的惟一零点,即方程f(x)=4﹣x的惟一解x0∈(1,2).
所以,由题意,n=1
(3)设h(x)=2﹣x﹣x,则h(x)在11,+∞)上递减.
∴
当x≥1时,f(x)=2x,不等式(a+x)f(x)<1,即a<2﹣x﹣x.
∴当时,存在x≥1,使得a<2﹣x﹣x成立,
即关于x的不等式(a+x)f(x)<1有不小于1的解
考点:函数奇偶*的*质;函数解析式的求解及常用方法.
知识点:不等式
题型:解答题