问题详情：
已知正方形ABCD，P为*线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC.
（1） 如图1，若点P在线段AB的延长线上，求*：EA=EC;
（2） 若点P在线段AB上.
① 如图2，连接AC,当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；
② 
如图3，设AB=a,BP=b，当EP平分∠AEC时，求a ：b及∠AEC的度数
.
【回答】
（1） *：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AC
∵四边形BPEF为正方形
∴∠P=∠F=90°，PE=EF=FB=BP
∵AP=AB+BP,CF=BC+BF
∴CF=AP
在△APE和△CFE中：EP=EF, ∠P=∠F=90°, AP= CF
∴△APE≌△CFE
∴EA=EC
（2） △ACE是直角三角形
∵P为AB的中点
∴BP=AP= 
AB
设BP=AP=x,则AB=2x
∵四边形ABCD为正方形
∴∠ABC=90°,BC=AB=2x
∴AC2=AB2+BC2=4x2+4x2=8x2
∵四边形BPEF为正方形
∴∠BPE=∠EFC=90°,PE=EF=BF=BP=x
∴CE2=CF2+EF2=(2x+x)2+x2=10x2
∵∠BPE=90°
∴∠APE=90°
∴AE2=AP2+PE2=x2+x2=2x2
∵8x2+2x2=10x2
∴AC2+AE2= CE2
∴△ACE是直角三角形
（3） 记CE与AB交于点O
∵四边形BPEF为正方形
∴PE=BP=b,∠APE=∠BPE=90°
∵EP平分∠AEC ∴∠AEP=∠CEP
在△AEP和△OEP中：∠APE=∠BPE=90°，PE=PE,∠AEP=∠OEP
∴△AEP≌△OEP ∴AP=OP
设AP=OP=x,则BO=b-x
∵四边形ABCD为正方形
∴∠ABC=90°,BC=AB=a
在△POE和△BOC中：∠OBC=∠OPE=90°，∠POE=∠BOC
∴△POE∽△BOC
∴
=
即: 
=
，x= 
,检验无误 ∴AP=
∵AP+PB=AB ∴
+b=a 即a2=2b2
∴a=
b ∴a : b=
连接BE
∵四边形BPEF为正方形
∴∠BFE=90°,BF=EF=b
∴∠EBF=45°,BE2=BF2+EF2=b2+b2=2b2 即：BE=
b
∴BE=AB ∴∠BAE=∠BEA
∵∠EBF=45° ∴∠BAE=∠BEA=67.5°
∵∠APE=90° ∴∠AEP=22.5°∴∠AEC=2∠AEP =45°
综上：a : b=，∠AEC=45°
知识点：各地中考
题型：综合题
