问题详情:
如图①,在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),点B(0,4),点E(0,1),如图②,将△AEO沿x轴向左平移得到△A′E′O′,连接A′B、BE′。
(1)设AA′=m(m >0),试用含m的式子表示,并求出使取得最小值时点E′的坐标;
(2)当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标。
【回答】
(1)①若0<m<2,如图1,连接EE′,
∵点A(2,0),∴A′O=2-m。
在Rt△A′BO中,由,得
。
∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向左平移得到的,
∴EE′∥AA′,且EE′=AA′。∴∠BEE′=90°,EE′=m。
又∵点B(0,4),点E(0,1),∴BE=OB-OE=3。
∴在Rt△BE′E中,。
∴。
又∵,
∴当m=1时,取得最小值,最小值为27,此时,点E′的坐标是(1,1)。
又∵点B(0,4),点E(0,1),∴BE=OB-OE=3。
∴在Rt△BE′E中,。
∴。
又∵,
∴当m≥2时, 随m的增大而增大,在m=2时,最小值为29,小于27。
综上所述,,取得最小值时点E′的坐标为(1,1)。
【考点】平移问题,相似三角形的判定和*质,平移的*质,勾股定理,二次函数最值,全等三角形的判定和*质,两点之间线段最短的*质。
知识点:相似三角形
题型:综合题