问题详情：
圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
（1）*：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；
（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．
【回答】
解：(1)* ∵直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．
∴l过
的交点M(3,1)．即l恒过定点M(3,1)，
又∵M到圆心C(1,2)的距离
d＝
＝
＜5，∴点M(3,1)在圆内，
∴过点M(3,1)的直线l与圆C恒交于两点．
(2) ∵过点M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤
，弦心距、半弦长和半径r满足勾股定理，
∴当d2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.
∴弦长AB的最小值|AB|min＝4
.
此时，kCM＝－，kl＝－
.
∵l⊥CM，∴·
＝－1，解得m＝－.
∴当m＝－时，取到最短弦长为4
.
知识点：圆与方程
题型：解答题
