问题详情:
(2019·河南中考模拟)在菱形中,,点是*线上一动点,以为边向右侧作等边,点的位置随点的位置变化而变化.
(1)如图1,当点在菱形内部或边上时,连接,与的数量关系是 ,与的位置关系是 ;
(2)当点在菱形外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以*;若不成立,
请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以*或说理).
(3) 如图4,当点在线段的延长线上时,连接,若 , ,求四边形的面积.
【回答】
(1)BP=CE; CE⊥AD;(2)成立,理由见解析;(3) .
【解析】
1)①BP=CE,理由如下:
连接AC,
∵菱形ABCD,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵△APE是等边三角形,
∴AP=AE ,∠PAE=60° ,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△ABP≌△ACE,∴BP=CE;
②CE⊥AD ,
∵菱形对角线平分对角,
∴,
∵△ABP≌△ACE,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴ ,
∴CF⊥AD ,即CE⊥AD;
(2)(1)中的结论:BP=CE,CE⊥AD 仍然成立,理由如下:
连接AC,
∵菱形ABCD,∠ABC=60°,
∴△ABC和△ACD都是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAD=120° ,
∠BAP=120°+∠DAP,
∵△APE是等边三角形,
∴AP=AE , ∠PAE=60° ,
∴∠CAE=60°+60°+∠DAP=120°+∠DAP,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△ABP≌△ACE,∴BP=CE,,
∴∠DCE=30° ,∵∠ADC=60°,
∴∠DCE+∠ADC=90° , ∴∠CHD=90° ,∴CE⊥AD,
∴(1)中的结论:BP=CE,CE⊥AD 仍然成立;
(3) 连接AC交BD于点O,CE,作EH⊥AP于H,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BD平分∠ABC ,
∵∠ABC=60°,,
∴∠ABO=30° ,∴ , BO=DO=3,
∴BD=6,
由(2)知CE⊥AD,
∵AD∥BC,∴CE⊥BC,
∵ , ,
∴,
由(2)知BP=CE=8,∴DP=2,∴OP=5,
∴,
∵△APE是等边三角形,∴ , ,
∵,
∴,
=
=
=,
∴四边形ADPE的面积是 .
【点睛】本题考查了菱形的*质,全等三角形的判定与*质,等边三角形判定与*质等,熟练掌握相关知识,正确添加辅助线是解题的关键.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题