问题详情:
(1)如图1,在△ABC中,点D,E,Q分别在AB,AC,BC上,且DE∥BC,AQ交DE于点P,求*:;
(2) 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上,连接AG,AF分别交DE于M,N两点.
①如图2,若AB=AC=1,直接写出MN的长;
②如图3,求*MN2=DM·EN.
【回答】
(1)*见解析;(2)①;②*见解析.
【解析】
【分析】
(1)易*△ADP∽△ABQ,△ACQ∽△ADP,从而得出;
(2)①根据等腰直角三角形的*质和勾股定理,求出BC边上的高,根据△ADE∽△ABC,求出正方形DEFG的边长.从而,由△AMN∽△AGF和△AMN的MN边上高,△AGF的GF边上高,GF=,根据 MN:GF等于高之比即可求出MN;
②可得出△BGD∽△EFC,则DG•EF=CF•BG;又DG=GF=EF,得GF2=CF•BG,再根据(1),从而得出结论.
【详解】
解:(1)在△ABQ和△ADP中,
∵DP∥BQ,
∴△ADP∽△ABQ,
∴,
同理在△ACQ和△APE中,,
∴;
(2)①作AQ⊥BC于点Q.
∵BC边上的高AQ=,
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE:BC=1:3
又∵DE∥BC
∴AD:AB=1:3,
∴AD=,DE=,
∵DE边上的高为,MN:GF=:,
∴MN:=:,
∴MN=.
故*为:.
②*:∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°,
∴∠B=∠CEF,
又∵∠BGD=∠EFC,
∴△BGD∽△EFC,
∴,
∴DG•EF=CF•BG,
又∵DG=GF=EF,
∴GF2=CF•BG,
由(1)得,
∴,
∴,
∵GF2=CF•BG,
∴MN2=DM•EN.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和*质以及正方形的*质,是一道综合题目,难度较大.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题