问题详情:
已知∠AOB=120°,点P为*线OA上一动点(不与点O重合),点C为∠AOB内部一点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,且点Q恰好落在*线OB上,不与点O重合.
(1)依据题意补全图1;
(2)用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系,并*;
(3)连接OC,写出一个OC的值,使得对于任意点P,总有OP+OQ=4,并*.
【回答】
(1)详见解析;(2)∠CQO+∠CPO=180°,详见解析;(3)OC=4时,对于任意点P,总有OP+OQ=4,详见解析.
【分析】
(1)根据题意补全图形即可; (2)根据四边形内角和为360°可得*; (3)连接OC,在*线OA上取点D,使得DP=OQ,连接CD,首先*△COQ≌△CDP,然后△COD为等边三角形,进而可得*.
【详解】
(1)补图如图1:
(2)∠CQO+∠CPO=180°,
理由如下:∵四边形内角和360°,
且∠AOB=120°,∠PCQ=60°,
∴∠CQO+∠CPO=∠1+∠2=180°.
(3)OC=4时,对于任意点P,总有OP+OQ=4.
*:连接OC,在*线OA上取点D,使得DP=OQ,连接CD.
∴OP+OQ=OP+DP=OD.
∵∠1+∠2=180°,
∵∠2+∠3=180°,
∴∠1=∠3.
∵CP=CQ,
在△CQO和△CPD中
,
∴△COQ≌△CDP(SAS).
∴∠4=∠6,OC=CD.
∵∠4+∠5=60°,
∴∠5+∠6=60°.
即∠OCD=60°.
∴△COD是等边三角形.
∴OC=OD=OP+OQ=4.
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与*质以及等边三角形的判定,关键是正确画出图形,掌握等边三角形的判定和*质.
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题