问题详情:
在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=22.5°,点P为线段BC上一动点,当点P运动到某一位置时,它到点A,B的距离都等于a,到点P的距离等于a的所有点组成的图形为W,点D为线段BC延长线上一点,且点D到点A的距离也等于a.
(1)求直线DA与图形W的公共点的个数;
(2)过点A作AE⊥BD交图形W于点E,EP的延长线交AB于点F,当a=2时,求线段EF的长.
【回答】
(1)1个;(2)
【分析】
(1)连接AP,根据圆周角定理得到∠APD=45°,求得DA=AP=a,得到∠D=∠APD=45°,推出D A⊥PA,于是得到结论;
(2)根据等腰三角形的*质得到∠BAP=∠B=22.5°,求得∠PAC=∠PCA=67.5°,推出点C在⊙P上,根据垂径定理得到AC=CE,求得∠APE=90°,于是得到结论.
【详解】
解:(1)直线DA与图形W的公共点的个数为1个;
∵点P到点A,B的距离都等于a,
∴点P为AB的中垂线与BC的交点,
∵到点P的距离等于a的所有点组成图形W,
∴图形W是以点P为圆心,a为半径的圆,
根据题意补全图形如图所示,
连接AP,
∵∠B=22.5°,
∴∠APD=45°,
∵点D到点A的距离也等于a,
∴DA=AP=a,
∴∠D=∠APD=45°,
∴∠PAD=90°,
∴DA⊥PA,
∴DA为⊙P的切线,
∴直线DA与图形W的公共点的个数为1个;
(2)∵AP=BP,
∴∠BAP=∠B=22.5°,
∵∠BAC=90°,
∴∠PAC=∠PCA=67.5°,
∴PA=PC=a,
∴点C在⊙P上,
∵AE⊥BD交图形W于点E,
∴
∴AC=CE,
∴∠DPE=∠APD=45°,
∴∠APE=90°,
∵EP=AP=a=2,
∴AE=,∠E=45°,
∵∠B=22.5°,AE⊥BD,
∴∠BAE=67.5°,
∴∠AFE=∠BAE=67.5°.
∴EF=AE=.
【点睛】
本题主要考查圆周角定理和等腰三角形的*质,运用已知条件做出圆,再利用等腰三角形的*质和垂径定理等知识是解答本题的关键所在.
知识点:圆的有关*质
题型:解答题