问题详情：
如图，已知直线
与抛物线
：
相交于
和点
两点.
⑴.求抛物线
的函数表达式；
⑵.若点
是位于直线
上方抛物线上的一动点，以
为相邻两边作平行四边形
,当平行四边形
的面积最大时，求此时四边形
的面积
及点
的坐标；
⑶.在抛物线
的对称轴上是否存在定点
,使抛物线
上任意一点
到点
的距离等于到直线
的距离，若存在，求出定点
的坐标；若不存在，请说明理由.
【回答】
考点：二次函数的图象及其*质、待定系数法、数学的建模思想、勾股定理、距离公式等.
分析：
本题的⑴利用“待定系数法”即可求出二次函数的解析式；本题的⑵抓住建立平行四边形的面积是△
的2倍，所以以△
的面积建立一个二次函数来求出其最大面积，再进一步求出平行四边形的最大面积；本题的⑶问主要先假设存在，再在此基础上从特殊点切入利用距离公式进行探究其存在的可能*.
略解：
⑴. ∵
和点
两点在抛物线
上
∴
解得
∴抛物线
的表达式为：
······ 4分
⑵. 设直线
的解析式为
∵
和点
在直线
上
∴
解得
∴直线
的解析式为
····· 5分
如图所示，过
作
轴交
于
设
，则
（
）
∴
，
∴
△
=
△
+
=
∴
△
=
∴当
，△
的面积有最大值
················ 8分
∴
□MANB=
△
=
，此时
.·············· 9分
⑶.存在.
. ························ 10分
理由如下：令抛物线顶点为
，则
；则顶点
到直线
的距离为
；
设
，再设
设
到直线
的距离为
,则
∵
为抛物线上任意一点都有
∴当
与顶点
重合时，也有
;则
,即顶点
到直线
的距离为
.
∴
，此时
∴
······························· 12分
∵
∴
∵
，
∴
整理化简可得
∴当
时，无论
取任何实数，均有
.··· 14分
点评：
本题的⑴问利用待定系数法即可获得解决；本
题⑵问是数学建模思想的运用，本问比较巧妙的是
知识点：各地中考
题型：综合题
