问题详情:
已知椭圆:,四点中恰有三个点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,动直线:交椭圆于两点,是椭圆上一点,直线的斜率为,且,是线段延长线上一点,且,以为圆的圆半径为,是圆的两条切线,切点分别为.求的最大值,并求取得最大值时直线的斜率.
【回答】
解:(Ⅰ)由对称*可知,在椭圆上,不在椭圆上,则在椭圆上,所以,将点B代入椭圆方程,可得
所以椭圆方程为………4分
(Ⅱ)设,
联立方程
得,
由题意知,
且,…………6分
所以 .
由题意可知圆的半径为………8分
由题设知,
所以………9分
因此直线的方程为.
联立方程
得,………11分
因此 .
由题意可知 ,………12分
而
,
令,
则,
因此 ,
当且仅当,即时等号成立,此时,………14分
所以 ,
因此,
所以 最大值为.………15分
综上所述:的最大值为,取得最大值时直线的斜率为.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:综合题