问题详情：
已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在
轴上，左顶点为
，左焦点为
，点
在椭圆
上，直线
与椭圆
交于
两点，直线
，分别与
轴交于点
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）在
轴上是否存在点
，使得无论非零实数
怎样变化，总有
为直角？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【回答】
解：（1）设椭圆
的方程为
，因为椭圆的左焦点为
，所以
，
设椭圆的右焦点为
，已知点
在椭圆
上，
由椭圆的定义知
，所以
，
所以
，从而
，所以椭圆
的方程为
． ………………4分
（2）因为椭圆
的左顶点为
，则点
的坐标为
，
因为直线
与椭圆
交于两点
，
，
设点
（不妨设
），则点
，
联立方程组
，消去
得
，所以
，
，………………6分
所以直线
的方程为
，因为直线
与
轴交于点
，
令
得
，即点
，
同理可得点
． ………………10分
假设在
轴上存在点
，使得
为直角，则
，
即
，即
． 解得
或
．
故存在点
或
，无论非零实数
怎样变化，总有
为直角．……………………12分
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
