问题详情:
如图,AB是△ABC外接圆⊙O的直径,D是AB延长线上一点,且BD=AB,∠A=30°,CE⊥AB于E,过C的直径交⊙O于点F,连接CD、BF、EF.
(1)求*:CD是⊙O的切线;
(2)求:tan∠BFE的值.
【回答】
【考点】切线的判定;解直角三角形.
【专题】综合题.
【分析】(1)要*CD是⊙O的切线,只要*OC⊥CD即可;
(2)过点E作EH⊥BF于H,设EH=a,利用角之间的关系可得到AC∥BF,从而得到BH=EH=a,BE=2EH=2a,进而可得到BF的长,此时可求得FH的长,再根据正切的公式即可求得tan∠BFE的值.
【解答】(1)*:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠A=30°,
∴BC=,
∵OB=,BD=,
∴BC=OB=BD,
∴BC=,
∴OC⊥CD,
∵OC是半径,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:过点E作EH⊥BF于H,设EH=a,
∵CF是⊙O直径,
∴∠CBF=90°=∠ACB,
∴∠CBF+∠ACB=180°,
∴AC∥BF,
∴∠ABF=∠A=30°,
∴BH=EH=a,BE=2EH=2a,
∵CE⊥AB于E,
∴∠A+∠ABC=90°=∠ECB+∠ABC,
∴∠ECB=∠A=30°,
∴BC=2BE=4a,
∵∠BFC=∠A=30°,∠CBF=90°,
∴BF==4a,
∴FH=BF﹣BH=4a﹣a=3a,
∴tan∠BFE===.
【点评】本题考查的是切线的判定,要*某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心和这点(即为半径),再*垂直即可.要熟知直角三角形的*质并熟练掌握三角函数值的求法.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题