问题详情:
背景:一次小组合作探究课上,小明将两个正方形按背景图位置摆放(点E,A,D在同一条直线上),发现BE=DG且BE⊥DG.小组讨论后,提出了三个问题,请你帮助解答:
(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转,(如图1)还能得到BE=DG吗?如果能,请给出*.如若不能,请说明理由:
(2)把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD,将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,(如图2)试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时,背景中的结论BE=DG仍成立?请说明理由;
(3)把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD,且,AE=4,AB=8,将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图3),连接DE,BG.小组发现:在旋转过程中, BG2+DE2是定值,请求出这个定值.
【回答】
(1)见解析;(2)当∠EAG=∠BAD时,BE=DG成立;理由见解析;(3).
【解析】
(1)根据四边形ABCD和AEFG是正方形的*质*△EAB≌△GAD即可;
(2)根据菱形AEFG和菱形ABCD的*质以及角的和差*△EAB≌△GAD即可说明当∠EAG=∠BAD时,BE=DG成立;
(3)如图:连接EB,BD,设BE和GD相交于点H,先根据四边形AEFG和ABCD为矩形的*质说明△EAB∽△GAD,再根据相似的*质得到,最后运用勾股定理解答即可.
【详解】
(1)*:∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD,
∵四边形AEFG为正方形
∴AE=AG,
∴
在△EAB和△GAD中有:
∴△EAB≌△GAD
∴BE=DG;
(2)当∠EAG=∠BAD时,BE=DG成立。
*:∵四边形ABCD菱形
∴AB=AD
∵四边形AEFG为正方形
∴AE=AG
∵∠EAG=∠BAD
∴
∴
在△EAB和△GAD中有:
∴△EAB≌△GAD
∴BE=DG;
(3)连接EB,BD,设BE和GD相交于点H
∵四边形AEFG和ABCD为矩形
∴
∴
∵
∴△EAB∽△GAD
∴
∴
∴
∴
,
∴.
【点睛】
本题属于四边形综合题,主要考查了正方形的*质、菱形的*质、勾股定理、全等三角形的判定与*质、相似三角形的判定与*质等知识点,灵活运用所学知识是解答本题的关键.
知识点:相似三角形
题型:综合题