问题详情：
如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F． （1）求*：△ABF≌△BCE； （2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求*：DC=DG； （3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求
的值．
【回答】
（1）*：∵BF⊥CE， ∴∠CGB=90°， ∴∠GCB+∠CBG=90， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBE=90°=∠A，BC=AB， ∴∠FBA+∠CBG=90， ∴∠GCB=∠FBA， ∴△ABF≌△BCE（ASA）； （2）*：如图2，
过点D作DH⊥CE于H， 设AB=CD=BC=2a， ∵点E是AB的中点， ∴EA=EB=
AB=a， ∴CE=
a， 在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE=CB•EB， ∴BG=
a， ∴CG=
=
a， ∵∠DCE+∠BCE=90°，∠CBF+∠BCE=90°， ∴∠DCE=∠CBF， ∵CD=BC，∠CQD=∠CGB=90°， ∴△CQD≌△BGC（AAS）， ∴CQ=BG=
a， ∴GQ=CG-CQ=
a=CQ， ∵DQ=DQ，∠CQD=∠GQD=90°， ∴△DGQ≌△CDQ（SAS）， ∴CD=GD； （3）解：如图3，
过点D作DH⊥CE于H， S△CDG=
•DQ=
CH•DG， ∴CH=
=
a， 在Rt△CHD中，CD=2a， ∴DH=
=
a， ∵∠MDH+∠HDC=90°，∠HCD+∠HDC=90°， ∴∠MDH=∠HCD， ∴△CHD∽△DHM， ∴
， ∴HM=
a， 在Rt△CHG中，CG=
a，CH=
a， ∴GH=
=
a， ∵∠MGH+∠CGH=90°，∠HCG+∠CGH=90°， ∴∠QGH=∠HCG， ∴△QGH∽△GCH， ∴
， ∴HN=
=
a， ∴MN=HM-HN=
a， ∴
=
【解析】
（1）先判断出∠GCB+∠CBG=90，再由四边形ABCD是正方形，得出∠CBE=90°=∠A，BC=AB，即可得出结论； （2）设AB=CD=BC=2a，先求出EA=EB=
AB=a，进而得出CE=
a，再求出BG=
a，CG═
a，再判断出△CQD≌△BGC（AAS），进而判断出GQ=CQ，即可得出结论； （3）先求出CH=
a，再求出DH=
a，再判断出△CHD∽△DHM，求出HM=
a，再用勾股定理求出GH=
a，最后判断出△QGH∽△GCH，得出HN=
=
a，即可得出结论． 此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和*质，相似三角形的判定和*质，勾股定理，判断出△DGQ≌△CDQ是解本题的关键．
知识点：各地中考
题型：解答题
