问题详情:
在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C、D重合),连结BE.
【感知】如图①,过点A作AF⊥BE交BC于点F.易*△ABF≌△BCE.(不需要*)
【探究】如图②,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G.
(1)求*:BE=FG.
(2)连结CM,若CM=1,则FG的长为 .
【应用】如图③,取BE的中点M,连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G,连结EG、MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为 .
【回答】
【解答】解:感知:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠BCE=∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠CBE=90°,
∵AF⊥BE,
∴∠ABE+∠BAF=90°,
∴∠BAF=∠CBE,
在△ABF和△BCE中,,
∴△ABF≌△BCE(ASA);
探究:(1)如图②,
过点G作GP⊥BC于P,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠A=∠ABC=90°,
∴四边形ABPG是矩形,
∴PG=AB,∴PG=BC,
同感知的方法得,∠PGF=∠CBE,
在△PGF和△CBE中,,
∴△PGF≌△CBE(ASA),
∴BE=FG,
(2)由(1)知,FG=BE,
连接CM,
∵∠BCE=90°,点M是BE的中点,
∴BE=2CM=2,
∴FG=2,
故*为:2.
应用:同探究(2)得,BE=2ME=2CM=6,
∴ME=3,
同探究(1)得,CG=BE=6,
∵BE⊥CG,
∴S四边形CEGM=CG×ME=×6×3=9,
故*为9.
【点评】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的*质,同角的余角相等,全等三角形的判定和*质,直角三角形的*质,判断出CG=BE是解本题的关键.
知识点:各地中考
题型:解答题