问题详情：
已知过原点O的两直线与圆心为M（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为N（0，6），且与x轴交于A、B两点． 
（1）求点P的坐标； （2）求抛物线解析式； （3）在直线y=nx+m中，当n=0，m≠0时，y=m是平行于x轴的直线，设直线y=m与抛物线相交于点C、D，当该直线与⊙M相切时，求点A、B、C、D围成的多边形的面积（结果保留根号）．
【回答】
（1）如图1， 
∵⊙M与OP相切于点P， ∴MP⊥OP，即∠MPO=90°． ∵点M（0，4）即OM=4，MP=2， ∴OP=2 
． ∵⊙M与OP相切于点P，⊙M与OQ相切于点Q， ∴OQ=OP，∠POK=∠QOK． ∴OK⊥PQ，QK=PK． ∴PK= 
． ∴OK= 
=3． ∴点P的坐标为（ 
，3）． （2）如图2， 
设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax 2 +6， ∵点P（ 
，3）在抛物线y=ax 2 +6上， ∴3a+6=3． 解得：a=1． 则该抛物线的解析式为y=x 2 +6． （3）当直线y=m与⊙M相切时， 则有 
=2． 解得；m 1 =2，m 2 =6． ①m=2时，如图3， 
则有OH=2． 当y=2时，解方程x 2 +6=2得：x=±2， 则点C（2，2），D（2，2），CD=4． 同理可得：AB=2 
． 则S 梯形ABCD = 
（DC+AB）OH= 
×（4+2 
）×2=4+2 
． ②m=6时，如图4， 此时点C、点D与点N重合． 
S △ABC = 
ABOC= 
×2 
×6=6 
． 综上所述：点A、B、C、D围成的多边形的面积为4+2 
或6 
．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：综合题
