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下列命题：如图，正方形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，AF=BE，CE、BF交于H，BF交AC于M，O为AC的中点，OB交CE于N，连OH．下列结论中：①BF⊥CE；②OM=ON；③
；④
．其中正确的命题有（ ）
A．只有①② B．只有①②④ C．只有①④ D．①②③④
【回答】
B
【考点】正方形的*质；全等三角形的判定与*质；等腰三角形的判定与*质；直角三角形斜边上的中线．
【分析】①可*△ABF≌△BEC到△BEH∽△ABF，所以∠BAF=∠BHE=90°得*．
②由题意正方形中∠ABO=∠BCO，在上面所*∠BCE=∠ABF，由△OBM≌△ONC得到ON=OM即得*．
③利用AAS*三角形OCN全等于三角形OBM，所以BM=CN，只有H是BM的中点时，OH等于BM（CN）的一半，所以（3）错误．
过O点作OG垂直于OH，OG交CH于G点，由题意可*得三角形OGC与三角形OHB全等．
按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，则在**三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，所以④式成立．
【解答】解：∵AF=BE，AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，
∴△ABF≌△BEC，
∴∠BCE=∠ABF，∠BFA=∠BEC，
∴△BEH∽△ABF，
∴∠BAF=∠BHE=90°，
即BF⊥EC，①正确；
∵四边形是正方形，
∴BO⊥AC，BO=OC，
由题意正方形中角ABO=角BCO，在上面所*∠BCE=∠ABF，
∴∠ECO=∠FBO，
∴△OBM≌△ONC，
∴ON=OM，
即②正确；
③∵△OBM≌△ONC，
∴BM=CN，
∵∠BOM=90°，
∴当H为BM中点时，OH=
BM=
CN（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
因此只有当H为BM的中点时，
，故③错误；
④过O点作OG垂直于OH，OG交CH与G点，
在△OGC与△OHB中，
，
故△OGC≌△OHB，
∵OH⊥OG，
∴△OHG是等腰直角三角形，
按照前述作辅助线之后，OHG是等腰直角三角形，OH乘以根2之后等于HG，
则在**三角形OGC与三角形OHB全等之后，CG=BH，
所以④式成立．
综上所述，①②④正确．
故选B．
【点评】本题考查了正方形的*质，全等三角形的*以及直角三角形斜边中线的*质，比较综合，有一定难度．
知识点：特殊的平行四边形
题型：选择题
