问题详情:
已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1.
(1)试求常数a,b,c的值;
(2)试判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由.
【回答】
[解] f′(x)=3ax2 +2bx+c,
(1)法一:∵x=±1是函数的极值点,
∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.
由根与系数的关系知
又f(1)=-1,∴a+b+c=-1, ③
由①②③解得a=,b=0,c=-.
法二:由f′(1)=f′(-1)=0,得3a+2b+c=0, ①
3a-2b+c=0, ②
又f(1)=-1,∴a+b+c=-1, ③
由①②③解得a=,b=0,c=-.
(2)f(x)=x3-x,
∴f′(x)=x2-=(x-1)(x+1).
当x<-1或x>1时f′(x)>0,
当-1<x<1时,f′(x)<0.
∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,
在(-1,1)上是减函数.
∴当x=-1时,函数取得极大值,x=-1为极大值点;当x=1时,函数取得极小值,x=1为极小值点.
知识点:导数及其应用
题型:解答题