如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于...

问题详情：

如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是

的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F．

（1）求*：CD是⊙O的切线；

（2）若cos∠CAD=

，BF=15，求AC的长．

【回答】

（1）*：连接OC，如图1所示．

∵点C是

的中点，

∴

=

，

∴OC⊥BE．

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BE，

∴AD∥OC．

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，如图2所示．

∵点C是

的中点，

∴

=

，∠BAC=∠CAE，

∴

=

．

∵cos∠CAD=

，

∴

=

，

∴AB=

BF=20．

在Rt△AOM中，∠AMO=90°，AO=

AB=10，cos∠OAM=cos∠CAD=

，

∴AM=AO•cos∠OAM=8，

∴AC=2AM=16．

知识点：各地中考

题型：解答题