问题详情:
如图,点D是以AB为直径的⊙O上一点,过点B作⊙O的切线,交AD的延长线于点C,E是BC的中点,连接DE并延长与AB的延长线交于点F.
(1)求*:DF是⊙O的切线;
(2)若OB=BF,EF=4,求AD的长.
【回答】
【分析】(1)连接OD,由AB为⊙O的直径得∠BDC=90°,根据BE=EC知∠1=∠3、由OD=OB知∠2=∠4,根据BC是⊙O的切线得∠3+∠4=90°,即∠1+∠2=90°,得*;
(2)根据直角三角形的*质得到∠F=30°,BE=EF=2,求得DE=BE=2,得到DF=6,根据三角形的内角和得到OD=OA,求得∠A=∠ADO=BOD=30°,根据等腰三角形的*质即可得到结论.
【解答】解:(1)如图,连接OD,BD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=∠BDC=90°,
在Rt△BDC中,∵BE=EC,
∴DE=EC=BE,
∴∠1=∠3,
∵BC是⊙O的切线,
∴∠3+∠4=90°,
∴∠1+∠4=90°,
又∵∠2=∠4,
∴∠1+∠2=90°,
∴DF为⊙O的切线;
(2)∵OB=BF,
∴OF=2OD,
∴∠F=30°,
∵∠FBE=90°,
∴BE=EF=2,
∴DE=BE=2,
∴DF=6,
∵∠F=30°,∠ODF=90°,
∴∠FOD=60°,
∵OD=OA,
∴∠A=∠ADO=BOD=30°,
∴∠A=∠F,
∴AD=DF=6.
【点评】本题考查了切线的判定和*质,直角三角形的*质,等腰三角形的判定和*质,正确的作出辅助线是解题的关键.
知识点:各地中考
题型:解答题