问题详情:
如图,AB是⊙O的直径,D、E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交⊙O于点F,连接AE、DE、DF.
(1)*:∠E=∠C;
(2)若∠E=55°,求∠BDF的度数;
(3)设DE交AB于点G,若DF=4,cosB=,E是弧AB的中点,求EG•ED的值.
【回答】
(1)见解析;(2)∠BDF=110°;(3)18
【分析】
(1)直接利用圆周角定理得出AD⊥BC,劲儿利用线段垂直平分线的*质得出AB=AC,即可得出∠E=∠C;
(2)利用圆内接四边形的*质得出∠AFD=180°﹣∠E,进而得出∠BDF=∠C+∠CFD,即可得出*;
(3)根据cosB=,得出AB的长,再求出AE的长,进而得出△AEG∽△DEA,求出*即可.
【详解】
解:(1)*:连接AD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
即AD⊥BC,
∵CD=BD,
∴AD垂直平分BC,
∴AB=AC,
∴∠B=∠C,
又∵∠B=∠E,
∴∠E=∠C;
(2)解:∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形,
∴∠AFD=180°﹣∠E,
又∵∠CFD=180°﹣∠AFD,
∴∠CFD=∠E=55°,
又∵∠E=∠C=55°,
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°;
(3)解:连接OE,
∵∠CFD=∠E=∠C,
∴FD=CD=BD=4,
在Rt△ABD中,cosB=,BD=4,
∴AB=6,
∵E是的中点,AB是⊙O的直径,
∵∠AOE=90°,且AO=OE=3,
∴AE=,
∵E是的中点,
∴∠ADE=∠EAB,
∴△AEG∽△DEA,
∴,
即EG•ED==18.
【点睛】
此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与*质以及圆内接四边形的*质等知识,根据题意得出AE,AB的长是解题关键.
知识点:正多边形和圆
题型:解答题