问题详情：
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，以AD为直径作⊙O，连接BO并延长至点E，使得OE=OB，交⊙O于点F，连接AE，CE．
（1）求*：AE是⊙O的切线；
（2）求*：四边形ADCE是矩形；
（3）若BD=
AD=4，求*影部分的面积．
【回答】
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的*质，得出∠ODB=90°，从而得出△BOD≌△EOA，得出∠OAE=∠ODB=90°，即可；
（2）利用（1）△BOD≌△EOA和三角形的中线得出结论；
（3）先判断出AE=OA=4，*影部分面积用三角形OAE的面积减去扇形OAF的面积即可．
【解答】解：（1）*：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ODB=90°，
在△BOD和△EOA中，
，
∴△BOD≌△EOA，
∴∠OAE=∠ODB=90°，
∵点A在圆上，
∴AE是⊙O的切线；
（2）由（1）知，△BOD≌△EOA，
∴BD=AE，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD=BD，
∴AE=CD，
∵∠OAE=∠ODB=90°，
∴AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形
∵∠OAE=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形；
（3）∵∠ODB=90°，BD=OD，
∴∠BOD=45°，
∴∠AOE=45°
∵∠OAE=90°，
∴AE=OA=
AD=4
∴S△OAE=
×OA×AE=
×4×4=8，
S扇形OAF=π×42×
=2π，
∴S*影部分=S△OAE﹣S扇形OAF=8﹣2π．
知识点：点和圆、直线和圆的位置关系
题型：综合题
