问题详情：
我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”。 
（1）概念理解：如图1，在△ABC中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形请说明理由。
（2）问题探究：如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连结AA'交直线BC于点D．若点B是△AA'C的重心，求 
的值．
（3）应用拓展：如图3．已知l1∥l2 ， l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的 
倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，AC所在直线交l2于点D．求CD的值。
【回答】
（1）如图1，过点A作AD⊥直线CB于点D， 
∴△ADC为直角三角形，∠ADC=90°， ∵∠ACB=30°，AC=6， ∴AD= 
AC=3 ∴AD=BC=3. 即△ABC是“等高底”三角形。 （2）如图2， 
∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”， ∴AD=BC． ∵△A'BC与△ABC关于直线BC对称， ∴∠ADC=90° ∵点B是△AA'C的重心， ∴BC=2BD 设BD=x，则AD=BC=2x， ∴CD= 
x ∴由勾股定理得AC ∴ 
（3）①当AB= 
BC时， Ⅰ．如图3．作AE⊥l1于点E，DF⊥AC于点F 
∴“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2 ， ∵l1与l2之间的距离为2，AB= 
BC ∴BC=AE=2，AB= 
， ∴BE=2，即EC=4， ∴AC= 
． ∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C， ∴∠DCF=45° 设DF=CF=x ∵l1∥l2 ， ∴∠ACE=∠DAF， ∴ 
即AF=2x AC=3x= 
，可得x= 
， ∴CD= 
x= 
Ⅱ．如图4，此时△ABC是等腰直角三角形 
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴CD= 
AC= 
。 ②当AC= 
BC时， Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形， 
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C， ∴A'C⊥l1 ， ∴CD=AB=BC=2． Ⅱ．如图6，作AE⊥l1于点E，则AE=BC， 
∴AC= 
BC= 
AE， ∴∠ACE=45° ∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C时，点A'在直线l1上， ∴A'C∥l2 ， 即直线A'C与l2无交点 综上，CD的值为 
， 
，2
【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理，轴对称的*质，旋转的*质
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥直线CB于点D，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AD的长，从而可*得AD=BC，因此可*得结论。 （2）根据已知条件△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底，可得出AD=BC，再根据△A'BC与△ABC关于直线BC对称，可得出∠ADC=90°，然后根据点B是△AA'C的重心，得出BC=2BD，利用勾股定理就可求解。 （2）分情况讨论：①当AB= 
BC时，Ⅰ．如图3．作AE⊥l1于点E，DF⊥AC于点F，根据已知及勾股定理求出AC的长，再根据旋转的*质，得出∠DCF=45°，然后*△ADF∽△AEC，得出对应边成比例，可求得CD的长；Ⅱ．如图4，此时△ABC是等腰直角三角形，根据旋转的*质，可得出CD的长；②当AC=
BC时，Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，可得出A'C⊥l1 ， 可得出CD的长；Ⅱ．如图6，作AE⊥l1于点E，则AE=BC，根据勾股定理及相似三角形的*质，可得出CD的长。即可得出*。
知识点：各地中考
题型：综合题
