问题详情:
如图*,四边形的边、分别在轴、轴的正半轴上,顶点在点的抛物线交轴于点、,交轴于点,连接、、.已知,,,.
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标;
(2)求*:是外接圆的切线;
(3)试探究坐标轴上是否存在一点,使以、、为顶点的三角形与相似,若存在,直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)设沿轴正方向平移个单位长度(0<t≤3)时,与重叠部分的面积为,求与之间的函数关系式,并指出的取值范围.
【回答】
(1);(2)*见解析;(3),,;(4).
【解析】(1)解:由题意,设抛物线解析式为.
将代入上式,解得:..则点.
(2)*:如图1,过点作于点,则.
在中,,
,.
在中,,
,.
.
是外接圆的直径.
在中,,.
在中,,.
,即.是外接圆的切线.
(3)中,,,,;
若以、、为顶点的三角形与相似,则必为直角三角形;
①为斜边时,在轴上,此时与重合;
由、,得、,即,即,
满足的条件,因此点是符合条件的点,坐标为.
②为短直角边时,在轴上;
若以、、为顶点的三角形与相似,则,;
而,则,,即:;
③为长直角边时,点在轴上;
若以、、为顶点的三角形与相似,则,;
则,;
综上,得:,,.
(4)设直线的解析式为.
将,代入,得,解得.
.
过点作*线轴交于点,当时,得,,.
情况一:如图2,
当时,设平移到的位置,交于点,交于点.
则,过点作轴于点,交于点.
由,得,即.
解得.
.
情况二:如图3,
当时,设平移到的位置,交于点,交于点.
由,得.即,解得.
,.
综上所述:.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题