问题详情：
如图，在平面直角坐标系中，函数
的图像交
轴于点
、
，交
轴于点
，它的对称轴交
轴于点
．过点
作
轴交抛物线于点
，连接
并延长交
轴于点
，交抛物线于点
．直线
交
于点
，交抛物线于点
，连接
、
．
备用图
（1）点
的坐标为：______；
（2）当
是直角三角形时，求
的值；
（3）
与
有怎样的位置关系？请说明理由．
【回答】
(1)(1,0)；(2) 
或
；(3)平行，理由见解析
【分析】
(1)根据二次函数的对称轴为
，代入即可求出E点坐标；
(2)将ED、AF的解析式用
的代数式表示，然后由DE解析式令y=0求出F点坐标，由AF解析式令y=
求出H点坐标，再根据△HEF是直角三角形分哪个顶点为直角顶点进行讨论，由勾股定理求解即可；
(3)直线DE和抛物线联立方程组求出G点坐标，直线AF和抛物线联立方程组求出K点坐标，最后计算直线GK的
和直线HE的
相等即可求解．
【详解】
解：(1)由题意可知，抛物线的对称轴为
，
∴E点的坐标为(1,0)，
故*为(1,0)．
(2)由题意知，C点坐标为(0,3a)，C和D点关于对称轴对称，∴D坐标为(2,3a)，
设直线DE的解析式为y=kx+m，代入E(1,0)和D(2,3a)，
即
，解得
，
∴直线DE的解析式为y=3ax-3a，
令y=0，∴F(0,-3a)，
令
中
，即：
，
解得
，∴A(-1，0)，
设直线AF的解析式为y=bx+t，代入A(-1,0)，F(0,-3a),
即
，解得
，
∴直线AF的解析式为y=-3ax-3a，
令y=-3ax-3a中y=3a，解得H点坐标(-2，3a)，
∴H(-2，3a)，E(1，0)，F(0,-3a)
故EF²=(1-0)²+(0+3a)²=1+9a²，
EH²=(1+2)²+(0-3a)²=9+9a²，
FH²=(0+2)²+(-3a-3a)²=36a²+4，
∵△EFH为直角三角形，∴分类讨论谁是直角顶角，
情况一：∠E为直角顶角时，则EF²+EH²=FH²，
即：1+9a²+9+9a²=36a²+4，解得：a=
，又a>0，故a=
；
情况二：∠F为直角顶角时，则EF²+FH²=EH²，
即：1+9a²+36a²+4=9+9a²，解得：a=
，又a>0，故a=
；
情况三：∠H为直角顶角时，则FH²+EH²=EF²，
即：36a²+4+9+9a²=1+9a²，此时无解；
∴综上所述，a的值为
或
；
故*为：
或
；
(3)联立直线DF与抛物线的解析式：
，整理得：
，
解得
，
，∴G点坐标为(-3,-12a)，
同理，联立直线AF与抛物线的解析式：
，整理得：
，
解得
，
，∴K点坐标为(6,-21a)，
∴直线GK的
，
直线HE的
，
即直线GK的k值与直线HE的k值相同，
∴GK与HE平行．
故*为：
与
有怎样的位置关系是平行．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像及*质，二次函数与一次函数的交点坐标的求法，一次函数的解析式，直角三角形的*质等知识点，熟练掌握二次函数的*质，学会联立方程组求函数的交点坐标是解决本题的关键．
知识点：二次函数单元测试
题型：解答题
