问题详情:
已知,在平面直角坐标系中,点为坐标原点,直线与轴的正半轴交于点A,与轴的负半轴交于点B, ,过点A作轴的垂线与过点O的直线相交于点C,直线OC的解析式为,过点C作轴,垂足为.
(1)如图1,求直线的解析式;
(2)如图2,点N在线段上,连接ON,点P在线段ON上,过P点作轴,垂足为D,交OC于点E,若,求的值;
(3)如图3,在(2)的条件下,点F为线段AB上一点,连接OF,过点F作OF的垂线交线段AC于点Q,连接BQ,过点F作轴的平行线交BQ于点G,连接PF交轴于点H,连接EH,若,求点P的坐标.
【回答】
(1);(2);(3).
【解析】
(1)根据题意求出A,B的坐标即可求出直线AB的解析式;
(2)求出N(3,9),以及ON的解析式为y=3x,设P(a,3a),表达出PE及OD即可解答;
(3)如图,设直线GF交CA延长线于点R,交y轴于点S,过点F作FT⊥x轴于点T,先*四边形OSRA为矩形,再通过边角关系*△OFS≌△FQR,得到SF=QR,进而*△BSG≌△QRG,得到SG=RG=6,设FR=m,根据,以及在Rt△GQR中利用勾股定理求出m的值,得到FS=8,AR=4,*四边形OSFT为矩形,得到OT=FS=8,根据∠DHE=∠DPH,利用正切函数的定义得到,从而得到DH=,根据∠PHD=∠FHT,得到HT=2,再根据OT=OD+DH+HT,列出关于a的方程即可求出a的值,从而得到点P的坐标.
【详解】
解:(1)∵CM⊥y轴,OM=9,
∴当y=9时,,解得:x=12,
∴C(12,9),
∵CA⊥x轴,则A(12,0),
∴OB=OA=12,则B(0,-12),
设直线AB的解析式为y=kx+b,
∴,解得:,
∴;
(2)由题意可得,∠CMO=∠OAC=∠MOA=90°,
∴四边形MOAC为矩形,
∴MC=OA=12,
∵NC=OM,
∴NC=9,则MN=MC-NC=3,
∴N(3,9)
设直线ON的解析式为,
将N(3,9)代入得:,解得:,
∴y=3x,
设P(a,3a)
∵PD⊥x轴交OC于点E,交x轴于点D,
∴,,
∴PE=,OD=a,
∴;
(3)如图,设直线GF交CA延长线于点R,交y轴于点S,过点F作FT⊥x轴于点T,
∵GF∥x轴,
∴∠OSR=∠MOA=90°,∠CAO=∠R=90°,∠BOA=∠BSG=90°,∠OAB=∠AFR,
∴∠OSR=∠R=∠AOS=∠BSG=90°,
则四边形OSRA为矩形,
∴OS=AR,SR=OA=12,
∵OA=OB,
∴∠OBA=∠OAB=45°,
∴∠FAR=90°-∠AFR=45°,
∴∠FAR=∠AFR,
∴FR=AR=OS,
∵QF⊥OF,
∴∠OFQ=90°,
∴∠OFS+∠QFR=90°,
∵∠SOF+∠OFS=90°,
∴∠SOF=∠QFR,
∴△OFS≌△FQR,
∴SF=QR,
∵∠SFB=∠AFR=45°,
∴∠SBF=∠SFB,
∴BS=SF=QR,
∵∠SGB=∠RGQ,
∴△BSG≌△QRG,
∴SG=RG=6,
设FR=m,则AR=m,
∴QR=SF=12-m,
∴AF=,
∵,
∴GQ=,
∵QG2=GR2+QR2,即,解得:m=4,
∴FS=8,AR=4,
∵∠OAB=∠FAR,FT⊥OA,FR⊥AR,
∴FT=FR=AR=4,∠OTF=90°,
∴四边形OSFT为矩形,
∴OT=FS=8,
∵∠DHE=∠DPH,
∴tan∠DHE=tan∠DPH,
∴,
由(2)可知,DE=,PD=3a,
∴,解得:DH=,
∴tan∠PHD=,
∵∠PHD=∠FHT,
∴tan∠FHT=,
∴HT=2,
∵OT=OD+DH+HT,
∴,
∴a=,
∴
【点睛】
本题考查了一次函数与几何综合问题,涉及了一次函数解析式的求法,矩形的判定与*质,全等三角形的判定与*质以及锐角三角函数的定义等知识点,第(3)问难度较大,解题的关键是正确做出辅助线,熟悉几何的基本知识,综合运用全等三角形以及锐角三角函数的概念进行解答.
知识点:相似三角形
题型:综合题