问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点,抛物线的顶点为D.
(1)求b,c的值;
(2)点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF的长度最大时,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下:
①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;
②在抛物线上是否存在一点P,使△EFP是以EF为直角边的直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,说明理由.
【回答】
解:(1)由已知得:A(﹣1,0),B(4,5),
∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(﹣1,0),B(4,5),
∴,
解得:b=﹣2,c=﹣3;
(2)如图:∵直线AB经过点A(﹣1,0),B(4,5),
∴直线AB的解析式为:y=x+1,
∵二次函数y=x2﹣2x﹣3,
∴设点E(t,t+1),则F(t,t2﹣2t﹣3),
∴EF=(t+1)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣(t﹣)2+,
∴当t=时,EF的最大值为,
∴点E的坐标为(,);
(3)①如图:顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD.
可求出点F的坐标(,),点D的坐标为(1,﹣4)
S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××(4﹣)+××(﹣1)=;
②如图:
ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,m2﹣2m﹣3)
则有:m2﹣2m﹣3=,
解得:m1=1+,m2=1﹣,
∴P1(1﹣,),P2(1+,),
ⅱ)过点F作b⊥EF交抛物线于P3,设P3(n,n2﹣2n﹣3)
则有:n2﹣2n﹣3=﹣,
解得:n1=,n2=(与点F重合,舍去),
∴P3(,﹣),
综上所述:所有点P的坐标:P1(1+,),P2(1﹣,),P3(,﹣)能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题