问题详情:
如图,矩形OABC在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=4,OC=3,若抛物线的顶点在BC边上,且抛物线经过O,A两点,直线AC交抛物线于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)若点M在抛物线上,点N在x轴上,是否存在以A,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)由OA的长度确定出A的坐标,再利用对称*得到顶点坐标,设出抛物线的顶点形式y=a(x﹣2)2+3,将A的坐标代入求出a的值,即可确定出抛物线解析式;
(2)设直线AC解析式为y=kx+b,将A与C坐标代入求出k与b的值,确定出直线AC解析式,与抛物线解析式联立即可求出D的坐标;
(3)存在,分两种情况考虑:如图所示,当四边形ADMN为平行四边形时,DM∥AN,DM=AN,由对称*得到M(3,),即DM=2,故AN=2,根据OA+AN求出ON的长,即可确定出N的坐标;当四边形ADM′N′为平行四边形,可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P,M′P=DQ=,N′P=AQ=3,将y=﹣代入得:﹣=﹣x2+3x,求出x的值,确定出OP的长,由OP+PN′求出ON′的长即可确定出N′坐标.
【解答】解:(1)设抛物线顶点为E,根据题意OA=4,OC=3,得:E(2,3),
设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+3,
将A(4,0)坐标代入得:0=4a+3,即a=﹣,
则抛物线解析式为y=﹣(x﹣2)2+3=﹣x2+3x;
(2)设直线AC解析式为y=kx+b(k≠0),
将A(4,0)与C(0,3)代入得:,
解得:,
故直线AC解析式为y=﹣x+3,
与抛物线解析式联立得:,
解得:或,
则点D坐标为(1,);
(3)存在,分两种情况考虑:
①当点M在x轴上方时,如答图1所示:
四边形ADMN为平行四边形,DM∥AN,DM=AN,
由对称*得到M(3,),即DM=2,故AN=2,
∴N1(2,0),N2(6,0);
②当点M在x轴下方时,如答图2所示:
过点D作DQ⊥x轴于点Q,过点M作MP⊥x轴于点P,可得△ADQ≌△NMP,
∴MP=DQ=,NP=AQ=3,
将yM=﹣代入抛物线解析式得:﹣=﹣x2+3x,
解得:xM=2﹣或xM=2+,
∴xN=xM﹣3=﹣﹣1或﹣1,
∴N3(﹣﹣1,0),N4(﹣1,0).
综上所述,满足条件的点N有四个:N1(2,0),N2(6,0),N3(﹣﹣1,0),N4(﹣1,0).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题