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材料一:若一个整数m能表示成a2-b2(a,b为整数)的形式,则称这个数为“完美数”.例如,3=22-12,9=32-02,12=42-22,则3,9,12都是“完美数”;再如,M=x2+2xy=(x+y)2-y2,(x,y是整数),所以M也是”完美数”.
材料二:任何一个正整数n都可以进行这样的分解:n=p×q(p、q是正整数,且p≤q).如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称p×q是n的最佳分解,并且规定F(n)=.例如18=1×18=2×9=3×6,这三种分解中3和6的差的绝对值最小,所以就有F(18)=.请解答下列问题:
(1)8______(填写“是”或“不是”)一个完美数,F(8)= ______.
(2)如果m和n都是”完美数”,试说明mn也是完美数”.
(3)若一个两位数n的十位数和个位数分别为x,y(1≤x≤9),n为“完美数”且x+y能够被8整除,求F(n)的最大值.
【回答】
(1)是,;(2)说明见解析; (3).
【解析】
(1)利用“完美数”的定义可得;
(2)根据完全平方公式,可*mn是“完美数”;
(3)两个一位数相加能被8整除,说明x+y=8或16, 这样可得正整数n为79,97,88,71,17,26,62,35,53,44共10种, 根据n为“完美数”可把n=26和n=62舍去,再根据n的最佳分解确定出F(n)的最大值.
【详解】
(1) )∵8=32-12
∴8是完美数,
F(8)==
故*为:是, .
(2)设m=, n=,其中a,b,c,d均为整数,
则mn= ()()
=
=
∵a,b,c,d均为整数
∴ac+bd与ad+bc也是整数,即mn是“完美数”.
(3) ∵两个一位数相加能被8整除,
∴ x+y=8或16,
∴n=79或97或88或71或17或26或62或35或53或44,
∵n为“完美数”,
∴n=79或97或88或71或17或35或53或44,
其中F(79)=,F(97)= ,F(88)=, F(71)=, F(17)=, F(35)=, F(53)=, F(44)=,
∴F(n)的最大值为.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用,完全平方公式的运用,阅读理解题目表述的意思是本题的关键
知识点:乘法公式
题型:解答题