問題詳情：
如圖，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，點A在直線l上的*影爲A1，點B在直線l上的*影爲B1，已知AB＝2，AA1=1，BB1＝
，求：
（Ⅰ）直線AB分別與平面α，β所成的角的大小；
（Ⅱ）二面角A1－AB－B1的大小.
【回答】
解法一：（Ⅰ）如圖，連接A1B，AB1.
∵α⊥β，α∩β=l，AA1⊥l，BB1⊥l， ∴AA1⊥β，BB1⊥α，
則∠BAB1，∠ABA1分別是AB與α和β所成的角.
Rt△BB1A中，BB1=
，AB=2，∴sin∠BAB1=
，
∴∠BAB1=45°.
Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，
∴sin∠ABA1=
， ∴∠ABA1=30°.
故AB與平面α，β所成的角分別是45°，30°.
（Ⅱ）∵BB1⊥α，
∴平面ABB1⊥α，在平面α內過A1作A1E⊥AB1交AB1於E，則A1E⊥平面AB1B.過E作EF⊥AB交AB於F，連接A1F，則由三垂線定理得A1F⊥AB.
∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=.
∴Rt△AA1B1中，AA1=A1B1=1，∴A1E=
AB1=
.
在Rt△AA1B中，A1B=
.
由 AA1・A1B=A1F・AB得
A1F=
.
∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=
，
∴二面角A1－AB－B1的大小爲arcsin
.
解法二：（Ⅰ）同解法一.
(Ⅱ)如圖，建立座標系，則A1（0，0，0），A（0，0，1），B1（0，1，0），B（
，1，0）.
在AB上取一點F（x，y，z），則存在t∈R，使得
，
即（x，y，z－1）=t(
)，
∴點F的座標爲(
t，t，1－t).
要使 
，須
=0，
即（
，t，1－t）・（，1，－1）=0，2t+t－(1－t)=0，解得t=
，
∴點F的座標爲(
)，
∴
= (
).
設E爲AB1的中點，則點E的座標爲（0，
）.
∴
（
）
又
（
）（）=
∴
， ∴∠A1FE爲所求二面角的平面角.
又 cos∠A1FE=
∴二面角A1－AB－B1的大小爲arccos
.
知識點：點 直線 平面之間的位置
題型：計算題
