问题详情：
已知函数
，
．
（1）当
时，
①若曲线
与直线
相切，求c的值；
②若曲线
与直线
有公共点，求c的取值范围．
（2）当
时，不等式
对于任意正实数x恒成立，当c取得
最大值时，求a，b的值．
【回答】
（1）解：当
时，
，所以
．
①设切点为
，则
…… 2分
由②③得，
由①得
代入④得，
所以
． …… 4分
②由题意，得方程
有正实数根，
即方程
有正实数根，
记
，令
，
当
时，
；当
时，
；
所以
在
上为减函数，在
上为增函数；
所以
． …… 6分
若
，则
，不合；
若
，由①知适合；
若
，则
，又
，
所以
，由零点存在*定理知
在
上必有零点．
综上，c的取值范围为
． …… 9分
（2）由题意得，当
时，
对于任意正实数x恒成立，
所以当
时，
对于任意正实数x恒成立，
由（1）知，
，
两边同时乘以x得，
①，
两边同时加上
得，
②，
所以
（*），当且仅当
时取等号．
对（*）式重复以上步骤①②可得，
，
进而可得，
，
，……，
所以当
，
时，
，当且仅当
时取等号．
所以
． …… 12分
当
取最大值1时，
对于任意正实数x恒成立，
令上式中
得， 
，所以
，
所以
对于任意正实数x恒成立，
即
对于任意正实数x恒成立，
所以
，所以函数
的对称轴
，
所以
，即
，所以
，
． …… 14分
又由
，两边同乘以x2得，
，
所以当
，
时，
也恒成立，
综上，得，． …… 16分
知识点：导数及其应用
题型：解答题
