问题详情：
已知函数
.
（I）若曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求函数的极值；
（II）当
时，若函数
在区间
上的最小值为
，求
的值；
（III）讨论函数
零点的个数.
【回答】
解：（I）
， …………1分
因为曲线
在点
处的切线与直线
垂直，所以
，
即
，解得
.所以
， …………2分
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；…3分
当
时，
取得极小值
.
极小值为
. ………4分
(II)当
时，
在（1，3）上恒成立，这时
在[1，3]上为增函数
,
令 
，得
（舍去）,……5分
当
时，由
得，
,
若
，有
在
上为减函数， 若
有
在
上为增函数，
，令
，得
……7分 当
时，
在（1，3）上恒成立，这时
在
上为减函数，
∴
.令
得
（舍去） 综上知,
. ……9分
(III)
函数
令
，得
， 设
当
时，
，此时
在
上单调递增；
当
时，
，此时
在
上单调递减；
所以
是
的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是
的最大值点，
的最大值为
. ……11分
又
，结合y=
的图像（如图），可知
① 当
时，函数
无零点；
②当
时，函数
有且仅有一个零点；
③当
时，函数
有两个零点；
④
时，函数
有且只有一个零点； ………13分
综上所述，当
时，函数
无零点；当
或
时，函数
有且仅有一个零点；当
时，函数
有两个零点. ……14分
知识点：导数及其应用
题型：解答题
