问题详情：
已知一个动圆与已知圆Q1：(x＋2)2＋y2＝
外切，与圆Q2：(x－2)2＋y2＝
内切，(1) 试求这个动圆圆心的轨迹方程；(2)设直线
与（1）中动圆圆心轨迹交于A、B两点，坐标原点O到直线
的距离为
，求△AOB面积的最大值。
【回答】
解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意有
所以c＝
，b＝1.所以所求椭圆方程为
＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
①当AB⊥x轴时，|AB|＝
.
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.
由已知
＝
，得m2＝
(k2＋1)．
把y＝kx＋m代入椭圆方程，
整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝
，x1x2＝
.
所以|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝
(1＋k2)
＝
＝
＝
3＋
＝3＋
(k≠0)≤3＋
＝4.
当且仅当9k2＝
，即k＝±
时等号成立．
此时Δ＝12(3k2＋1－m2)＞0，
当k＝0或不存在时，|AB|＝
，综上所述，|AB|max＝2.
所以当|AB|最大时，△AOB面积取得最大值
S＝
×|AB|max×
＝.
知识点：圆与方程
题型：解答题
