问题详情：
如图1，平面直角坐标系
中，等腰
的底边
在
轴上，
，顶点
在
的正半轴上，
，一动点
从
出发，以每秒1个单位的速度沿
向左运动，到达
的中点停止．另一动点
从点
出发，以相同的速度沿
向左运动，到达点
停止．已知点
、
同时出发，以
为边作正方形
，使正方形
和
在
的同侧．设运动的时间为
秒（
）．
（1）当点
落在
边上时，求
的值；
（2）设正方形
与
重叠面积为
，请问是存在
值，使得
？若存在，求出
值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，取
的中点
，连结
，当点
、
开始运动时，点
从点
出发，以每秒
个单位的速度沿
运动，到达点
停止运动．请问在点
的整个运动过程中，点
可能在正方形
内（含边界）吗？如果可能，求出点
在正方形
内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．
【回答】
（1）t=1；（2）存在，
，理由见解析；（3）可能，
或
或
理由见解析
【解析】
（1）用待定系数法求出直线AC的解析式，根据题意用t表示出点H的坐标，代入求解即可；
（2）根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为
，故t﹥4,用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点H落在BC边上时的t值，求出此时重叠面积为
﹤
，进一步求出重叠面积关于t的表达式，代入解t的方程即可解得t值；
（3）由已知求得点D（2，1），AC=
，OD=OC=OA=
,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．
【详解】
（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，
将点A、C坐标代入，得：
，解得：
，
∴直线AC的函数解析式为
，
当点
落在
边上时，点E(3-t，0)，点H（3-t，1），
将点H代入
，得：
，解得：t=1；
（2）存在，
，使得
．
根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为
，故t﹥4，
设直线AB的函数解析式为y=mx+n，
将点A、B坐标代入，得：
，解得：
，
∴直线AC的函数解析式为
，
当t﹥4时，点E（3-t，0）点H（3-t，t-3），G(0，t-3)，
当点H落在AB边上时，将点H代入
，得：
，解得：
；
此时重叠的面积为
，
∵
﹤
，∴
﹤t﹤5，
如图1，设GH交AB于S，EH交AB于T,
将y=t-3代入
得：
，
解得：x=2t-10，
∴点S(2t-10，t-3)，
将x=3-t代入
得：
，
∴点T
，
∴AG=5-t，SG=10-2t，BE=7-t，ET=
，
所以重叠面积
，
由
=
得：
，
﹥5(舍去)，
∴
；
（3）可能，
≤t≤1或t=4．
∵点D为AC的中点，且OA=2,OC=4，
∴点D（2，1），AC=
，OD=OC=OA=
,
易知M点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；
当0﹤t﹤
时，M在线段OD上，H未到达D点，所以M与正方形不相遇；
当
﹤t﹤1时， 
+
÷（1+4）=
秒，
∴
时M与正方形相遇，经过1÷（1+4）=
秒后，M点不在正方行内部，则
；
当t=1时，由（1）知，点F运动到原E点处，M点到达C处；
当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=
秒时，点M追上G点，经过1÷（4-1）=
秒，点
都在正方形
内（含边界），
当t=2时，点M运动返回到点O处停止运动，
当 t=3时，点E运动返回到点O处, 当 t=4时，点F运动返回到点O处,
当
时，点
都在正方形
内（含边界），
综上，当
或
或
时，点
可能在正方形
内（含边界）．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：综合题
