如图①，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的...

问题详情：

如图①，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，点到达点时，点、同时停止运动．当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连结交于点，连结、．设点的运动时间为秒．

（1）当点与点重合时，求的值．

（2）用含的代数式表示线段的长．

（3）当为锐角三角形时，求的取值范围．

（4）如图②，取的中点，连结．当直线与的一条直角边平行时，直接写出的值．

【回答】

（1）；（2）或；（3）或；（4）或.

【解析】

（1）由题意直接根据AB=4，构建方程进行分析求解即可；

（2）由题意分两种情形：当点P在线段AB上时，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解决问题．当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，求出CE即可；

（3）根据题意求出两种特殊情形下△PDQ是等腰直角三角形时t的值，即可求解当△PDQ为锐角三角形时t的取值范围；

（4）根据题意分两种情形：如图7，当点P在线段AB上，QM∥AB时以及如图8，当点P在线段BC上，QM∥BC时，分别求解即可．

【详解】

解：（1）当点与点重合时，．解得．

（2）在中，，，所以，，．

如图3，当点在上时，在中，．

所以．

如图4，当点在上时，在中，，．

所以．

（3）先考虑临界值等腰直角三角形，那么．

如图5，当点在上时，在中，．

而，

由，得．解得．

如图6，当点在上时，在中，．

而，

由，得，解得．

再数形结合写结论．

当为锐角三角形时，，或．

（4）的值为或．

如图7，当点在上时，延长交于点．

作于，作于．

由，是的中点，可知是的中点．

在中，，所以．

在中，．

由，解得．

如图8，当点在上时，作于．

由，是的中点，可知．

在中，，所以．

在中，．

由，得，解得．

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查解直角三角形，平行线的*质，等腰直角三角形的判定和*质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题.

知识点：等腰三角形

题型：综合题