问题详情:
如图,Rt△ABP的直角顶点P在第四象限,顶点A、B分别落在反比例函数y=图象的两支上,且PB⊥x轴于点 C,PA⊥y轴于点D,AB分别与 x轴,y轴相交于点F和E.已知点 B的坐标为(1,3).
(1)填空:k= ;
(2)*:CD∥AB;
(3)当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时,求点P的坐标.
【回答】
解析 (1)由点B的坐标,利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值;
(2)设A点坐标为(a,),则D点坐标为(0,),P点坐标为(1,),C点坐标为(1,0),进而可得出PB,PC,PA,PD的长度,由四条线段的长度可得出,结合∠P=∠P可得出△PDC∽△PAB,由相似三角形的*质可得出∠CDP=∠A,再利用“同位角相等,两直线平行”可*出CD∥AB;
(3)由四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等可得出S△PAB=2S△PCD,利用三角形的面积公式可得出关于a的方程,解之取其负值,再将其代入P点的坐标中即可求出结论.
解:∵B点(1,3)在反比例函数y=的图象,∴k=1×3=3.故*为:3.
(2)*:∵反比例函数解析式为,∴设A点坐标为(a,).
∵PB⊥x轴于点C,PA⊥y轴于点 D,
∴D点坐标为(0,),P点坐标为(1,),C点坐标为(1,0),
∴PB=3﹣,PC=﹣,PA=1﹣a,PD=1,
∴,,∴.
又∵∠P=∠P,∴△PDC∽△PAB,∴∠CDP=∠A,∴CD∥AB.
(3)解:∵四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等,
∴S△PAB=2S△PCD,∴×(3﹣)×(1﹣a)=2××1×(﹣),
整理得:(a﹣1)2=2,解得:a1=1﹣,a2=1+(舍去),∴P点坐标为(1,﹣3﹣3).
知识点:反比例函数
题型:综合题