问题详情：
已知，抛物线
与
轴交于点
与
轴交于点
，
，且
点的坐标为
．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）如图1，若点
是线段
上的一动点，过点
作
，交
于
，连接
，求
面积的最大值．
（3）如图2，若直线
与线段
交于点
，与线段
交于点
，是否存在
，
，使得
为直角三角形，若存在，请求出
的值；若不存在，请说明理由．
【回答】
（1）
；（2）3；（3）存在，
或
【解析】
（1）利用待定系数法求出未知系数即可；
（2）求出A，B坐标，设出点P坐标，利用相似三角形的*质表示
的面积，通过讨论最值，求出最大面积.
（3）用m分别表示出M，N坐标，分别讨论O、M、N为直角三角形顶点时的情况，求出相应的m值.
【详解】
解：（1）把点
，
分别代入
中，
得
，解得
∴该函数解析式为
（2）令
，即
，解得
，
∴
，
设
，则
∵
∴
，
∴
∴
，即
化简得：
∴
∵
∴当
时，
的最大值为3
（3）由题可得：
，
联立
，解得
，∴
联立
，解得
，∴
，
，
①当
时，即
时
∴
∴
又∵
，∴
②当
时，即
时
∴
，∴
③当
时，即
时
∴
，无解
∴综上所述：∴
，∴
【点睛】
本题考查二次函数、一次函数的和相似三角形的相关*质，解答过程中要注意应用数形结合的思想.
知识点：二次函数的图象和*质
题型：解答题
