问题详情:
阅读下列两段材料,回答问题:
材料一:点A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标为(,).例如,点(1,5),(3,﹣1)的中点坐标为(,),即(2,2).
材料二:如图1,正比例函数l1:y=k1x和l2:y=k2x的图象相互垂直,分别在l1和l2上取点A,B,使得AO=BO.分别过点A,B作x轴的垂线,垂足分别为点C,D.显然,△AOC≌△OBD.设OC=BD=a,AC=OD=b,则A(﹣a,b),B(b,a).于是k1=﹣,k2=,所以k1•k2的值为一个常数.一般地,一次函数y=k1x+b1,y=k2x+b2可分别由正比例函数l1,l2平移得到.
所以,我们经过探索得到的结论是:任意两个一次函数y=k1x+b1,y=k2x+b2的图象相互垂直,则k1•k2的值为一个常数.
(1)在材料二中,k1•k2= (写出这个常数具体的值);
(2)如图2,在矩形OBAC中A(4,2),点D是OA中点,用两段材料的结论,求点D的坐标和OA的垂直平分线l的解析式;
(3)若点C′与点C关于OA对称,用两段材料的结论,求点C′的坐标.
【回答】
解:(1)∵k1=﹣,k2=,
∴k1•k2=﹣•=﹣1.
故*为:﹣1.
(2)∵点O的坐标为(0,0),点A的坐标为(4,2),点D是OA中点,
∴点D的坐标为(2,1).
∵点A的坐标为(4,2),
∴直线OA的解析式为y=x.
∵直线l⊥直线OA,
∴设直线l的解析式为y=﹣2x+m.
∵直线l过点D(2,1),
∴1=﹣4+m,解得:m=5,
∴OA的垂直平分线l的解析式为y=﹣2x+5.
(3)∵点A的坐标为(4,2),四边形OBAC为矩形,
∴点C的坐标为(0,2).
设直线CC′的解析式为y=﹣2x+n,
∵直线CC′过点C(0,2),
∴n=2,即直线CC′的解析式为y=﹣2x+2.
联立直线CC′和OA的解析式成方程组,得:,
解得:,
∴点E的坐标为(,).
∵点E为线段CC′的中点,
∴点C′的坐标为(×2﹣0,×2﹣2),即(,﹣).
知识点:课题学习 选择方案
题型:综合题