问题详情:
如图,抛物线y=-x2+bx+c过点A(3,2),且与直线y=-x+交于B、C两点,点B的坐标为(4,m). (1)求抛物线的解析式; (2)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点,过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E,点P为对称轴上一动点,当线段DE的长度最大时,求PD+PA的最小值; (3)设点M为抛物线的顶点,在y轴上是否存在点Q,使∠AQM=45°?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)将点B的坐标为(4,m)代入y=-x+, m=-4+=-, ∴B的坐标为(4,-), 将A(3,2),B(4,-)代入y=-x2+bx+c, 解得b=1,c=, ∴抛物线的解析式y=; (2)设D(m,),则E(m,-m+), DE=()-(-m+)==-(m-2)2+2, ∴当m=2时,DE有最大值为2, 此时D(2,), 作点A关于对称轴的对称点A',连接A'D,与对称轴交于点P. PD+PA=PD+PA'=A'D,此时PD+PA最小, ∵A(3,2), ∴A'(-1,2), A'D==, 即PD+PA的最小值为; (3)作AH⊥y轴于点H,连接AM、AQ、MQ、HA、HQ, ∵抛物线的解析式y=, ∴M(1,4), ∵A(3,2), ∴AH=MH=2,H(1,2) ∵∠AQM=45°, ∠AHM=90°, ∴∠AQM=∠AHM, 可知△AQM外接圆的圆心为H, ∴QH=HA=HM=2 设Q(0,t), 则=2, t=2+或2- ∴符合题意的点Q的坐标:Q1(0,2-)、Q2(0,2). 【解析】
(1)将点B的坐标为(4,m)代入y=-x+,m=-4+=-,B的坐标为(4,-),将A(3,2),B(4,-)代入y=-x2+bx+c,解得b=1,c=,因此抛物线的解析式y=; (2)设D(m,),则E(m,-m+),DE=()-(-m+)==-(m-2)2+2,当m=2时,DE有最大值为2,此时D(2,),作点A关于对称轴的对称点A',连接A'D,与对称轴交于点P.PD+PA=PD+PA'=A'D,此时PD+PA最小; (3)作AH⊥y轴于点H,连接AM、AQ、MQ、HA、HQ,由M(1,4),A(3,2),可得AH=MH=2,H(1,2)因为∠AQM=45°,∠AHM=90°,所以∠AQM=∠AHM,可知△AQM外接圆的圆心为H,于是QH=HA=HM=2设Q(0,t),则=2,t=2+或2-,求得符合题意的点Q的坐标:Q1(0,2-)、Q2(0,2). 本题考查了二次函数,熟练运用二次函数的图象的*质与一次函数的*质以及圆周角定理是解题的关键.
知识点:各地中考
题型:综合题