问题详情：
问题背景：如图1，在四边形
中，
，
，
，
，
，
绕B点旋转，它的两边分别交
、
于E、F．探究图中线段
，
，
之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长
到G，使
，连接
，先*
，再*
，可得出结论，他的结论就是_______________；
探究延伸1：如图2，在四边形
中，
，
，
，
，
绕B点旋转，它的两边分别交
、
于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形
中，
，
，
，
绕B点旋转，它的两边分别交
、
于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图4，在某次*事演习中，舰艇*在指挥中心（O处）北偏西
的A处舰艇乙在指挥中心南偏东
的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇*向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东
的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到*、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为
，试求此时两舰艇之间的距离．
【回答】
EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际应用：210海里．
【解析】
延长
到G，使
，连接
，先*
，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再*
，可得GF=EF，即可解题；
探究延伸1：延长
到G，使
，连接
，先*
，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再*
，可得GF=EF，即可解题；
探究延伸2：延长
到G，使
，连接
，先*
，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再*
，可得GF=EF，即可解题；
实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可．
【详解】
解：EF=AE+CF
理由：延长
到G，使
，连接
，
在△BCG和△BAE中，
，
∴
（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE+∠CBF=60°，
∴∠CBG+∠CBF=60°，
即∠GBF=60°，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．
理由：延长
到G，使
，连接
，
在△BCG和△BAE中，
，
∴
（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF=
∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF=
∠ABC，
即∠GBF=
∠ABC，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．
理由：延长
到G，使
，连接
，
∵
，∠BCG+∠BCD=180°，
∴∠BCG=∠BAD
在△BCG和△BAE中，
，
∴
（SAS），
∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，
∵∠ABC=2∠MBN，
∴∠ABE+∠CBF=
∠ABC，
∴∠CBG+∠CBF=
∠ABC，
即∠GBF=
∠ABC，
在△BGF和△BEF中，
，
∴△BGF≌△BEF（SAS），
∴GF=EF，
∵GF=CG+CF=AE+CF，
∴EF=AE+CF．
实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF=
∠AOB
∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，
∴符合探索延伸中的条件
∴结论EF= AE+CF仍然成立
即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为210海里．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与*质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
知识点：三角形全等的判定
题型：解答题
