问题详情:
在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3过点A(﹣3,0),B(1,0),与y轴交于点C,顶点为点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为直线CD上的一个动点,连接BC;
①如图1,是否存在点P,使∠PBC=∠BCO?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
②如图2,点P在x轴上方,连接PA交抛物线于点N,∠PAB=∠BCO,点M在第三象限抛物线上,连接MN,当∠ANM=45°时,请直接写出点M的坐标.
【回答】
(1)y=x2+2x﹣3;(2)①存在,点P的坐标为(1,﹣2)或(﹣5,﹣8);②点M(﹣,﹣)
【解析】
(1)y=ax2+bx﹣3=a(x+3)(x﹣1),即可求解;
(2)①分点P(P′)在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况,分别求解即可;
②*△AGR≌△RHM(AAS),则点M(m+n,n﹣m﹣3),利用点M在抛物线上和AR=NR,列出等式即可求解.
【详解】
解:(1)y=ax2+bx﹣3=a(x+3)(x﹣1),
解得:a=1,
故抛物线的表达式为:y=x2+2x﹣3①;
(2)由抛物线的表达式知,点C、D的坐标分别为(0,﹣3)、(﹣1,﹣4),
由点C、D的坐标知,直线CD的表达式为:y=x﹣3;
tan∠BCO=,则cos∠BCO=;
①当点P(P′)在点C的右侧时,
∵∠P′AB=∠BCO,
故P′B∥y轴,则点P′(1,﹣2);
当点P在点C的左侧时,
设直线PB交y轴于点H,过点H作HN⊥BC于点N,
∵∠PBC=∠BCO,
∴△BCH为等腰三角形,则
BC=2CH•cos∠BCO=2×CH×=,
解得:CH=,则OH=3﹣CH=,故点H(0,﹣),
由点B、H的坐标得,直线BH的表达式为:y=x﹣②,
联立①②并解得:,
故点P的坐标为(1,﹣2)或(﹣5,﹣8);
②∵∠PAB=∠BCO,而tan∠BCO=,
故设直线AP的表达式为:y=,将点A的坐标代入上式并解得:s=1,
故直线AP的表达式为:y=x+1,
联立①③并解得:,故点N(,);
设△AMN的外接圆为圆R,
当∠ANM=45°时,则∠ARM=90°,设圆心R的坐标为(m,n),
∵∠GRA+∠MRH=90°,∠MRH+∠RMH=90°,
∴∠RMH=∠GAR,
∵AR=MR,∠AGR=∠RHM=90°,
∴△AGR≌△RHM(AAS),
∴AG=m+3=RH,RG=﹣n=MH,
∴点M(m+n,n﹣m﹣3),
将点M的坐标代入抛物线表达式得:n﹣m﹣3=(m+n)2+2(m+n)﹣3③,
由题意得:AR=NR,即(m+3)2=(m﹣)2+()2④,
联立③④并解得:,
故点M(﹣,﹣).
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数的*质、三角形全等、圆的基本知识等,其中(2)①,要注意分类求解,避免遗漏.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题