问题详情:
如图,在△ABC中,∠ABC=,O为AB边上一点,且3OB=3OC=2AB,已知PO⊥平面ABC,2DA=2AO=PO,且DA∥PO.
(1)求*:平面PBD⊥平面COD;
(2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值.
【回答】
(1)* ∵OB=OC,又∵∠ABC=,
∴∠OCB=,∴∠BOC=.
∴CO⊥AB.2分
又PO⊥平面ABC,
OC⊂平面ABC,∴PO⊥OC.
又∵PO,AB⊂平面PAB,PO∩AB=O,
∴CO⊥平面PAB,即CO⊥平面PDB.4分
又CO⊂平面COD,
∴平面PDB⊥平面COD.6分
(2)解 以OC,OB,OP所在*线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.
设OA=1,则PO=OB=OC=2,DA=1.
则C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,-1,1),
∴=(0,-1,-1),=(2,-2,0),=(0,-3,1).8分
设平面BDC的一个法向量为n=(x,y,z),
∴∴
令y=1,则x=1,z=3,∴n=(1,1,3).10分
设PD与平面BDC所成的角为θ,
则sin θ=
==.
即直线PD与平面BDC所成角的正弦值为.12分
例4
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:解答题