问题详情:
为了解某品种一批树苗生长情况,在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本,测量树苗高度(单位:cm),经统计,其高度均在区间[19,31]内,将其按[19,21),[21,23),[23,25),[25,27),[27,29),[29,31]分成6组,制成如图所示的频率分布直方图.其中高度为27 cm及以上的树苗为优质树苗.
(1)求图中a的值;
(2)已知所抽取的这120棵树苗来自于A,B两个试验区,部分数据如下列联表:
A试验区 | B试验区 | 合计 | |
优质树苗 | 20 | ||
非优质树苗 | 60 | ||
合计 |
将列联表补充完整,并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A,B两个试验区有关系,并说明理由;
(3)用样本估计总体,若从这批树苗中随机抽取4棵,其中优质树苗的棵数为X,求X的分布列和数学期望EX.
下面的临界值表仅供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中.)
【回答】
(1)根据直方图数据,有,
解得.
(2)根据直方图可知,样本中优质树苗有,列联表如下:
A试验区 | B试验区 | 合计 | |
优质树苗 | 10 | 20 | 30 |
非优质树苗 | 60 | 30 | 90 |
合计 | 70 | 50 | 120 |
可得.
所以,没有99.9%的把握认为优质树苗与A,B两个试验区有关系.
(3)由已知,这批树苗为优质树苗的概率为,且X服从二项分布B(4,),
;;
;;
.
所以X的分布列为:
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
故数学期望EX=.
【点睛】“求期望”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望.对于某些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此,应熟记常见的典型分布的期望公式,可加快解题速度.
知识点:统计
题型:解答题