问题详情：
已知直线l：y＝x＋，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求*：两切线斜率之积为定值．
【回答】
解 (1)设椭圆半焦距为c，
圆心O到l的距离d＝＝，
所以b＝＝.
由题意得又b＝，∴a2＝3，b2＝2.
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)*：设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，
联立直线l0与椭圆E的方程得
把y＝kx＋(y0－kx0)代入＋＝1，消去y得
(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，∵l0与椭圆E相切．
∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，整理得(2－x)k2＋2kx0y0－(y－3)＝0，
设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－
∵点P在圆O上，∴x＋y＝5，
∴k1·k2＝－＝－1.
∴两条切线斜率之积为常数－1.
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
