问题详情：
如图①，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D→A匀速运动，同时动点Q以相同的速度在x轴正半轴上运动，当点P到达A点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． 
(1)当P点在边AB上运动时点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； 
(2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围．
(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
【回答】
（1）解：如图①，过B作BF⊥OA于F， 
∵A（0，10）， ∴OA=10， ∵B（8，4）， ∴BF=8，OF=4， ∴AF=10﹣4=6， ∴AB=10， 由图②知：点P在边AB上运动时间为10秒，所以速度为：10÷10=1， Q（1，0）， 则点P运动速度为每秒1个单位长度； （2）解：如图③，过B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF=8，OF=BE=4， 
由（1）知：AF=6，AB=10； 过C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H， ∵∠ABC=90°，AB=BC， ∴△ABF≌△BCH， ∴BH=AF=6，CH=BF=8， ∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12， ∴所求C点的坐标为（14，12）； （3）解：过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N， 
∴PM∥BF， 则△APM∽△ABF， ∴ 
， ∴ 
= 
= 
， ∴AM= 
，PM= 
t， ∴PN=OM=10﹣ 
t，ON=PM= 
t， ∴S=S△OPQ= 
PN•OQ = 
×（10﹣ 
t）（1+t）=﹣ 
（0≤t≤10）； （4）解：OP与PQ相等，组成等腰三角形，即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半时，满足条件； ①当P在AB上时，如图③， 
t= 
（t+1），t= 
，OP与PQ相等， 
②当P在BC上时，如图④，则PB=t﹣10， 
sin∠ABF=sin∠BPM= 
， ∴ 
， ∴BM= （t﹣10）， ∴ON=BF+BM=8+ 
（t﹣10）， 8+ （t﹣10）= （t+1），解得：t=﹣15（舍）， ③当P在CD上时，如图⑤，则PC=t﹣20， 
cos∠PCR=cos∠BCH= 
， ∴ 
， ∴CR=MH= （t﹣20）， ∴ON=OG﹣NG=FH﹣MH=14﹣ （t﹣20）， 14﹣ （t﹣20）= （t+1），解得：t= 
， 即当t= 
时，OP=PQ， 综上所述，当t= 
或 
时，OP与PQ相等． 【考点】全等三角形的*质，全等三角形的判定，相似多边形的*质，相似三角形的判定 【解析】【分析】（1）由A和B两点的坐标求正方形边长AB，由图②得：P在边AB上运动10秒，Q开始运动时，横坐标为1；（2）由（1）知，正方形边长为10，根据三角形全等得：BH=AF=6，CH=BF=8，所以可得OG=14，CG=12，写出C点的坐标；（3）作辅助线，*△APM∽△ABF，列比例式得：AM= ，PM= t，根据面积公式可得S与t的关系式；（4）OP与PQ相等，组成等腰三角形，即当P点的横坐标等于Q点的横坐标的一半；分三种情况进行讨论：点P分别在AB、BC、CD上时，根据这一等量关系列式可得t的值．
知识点：相似三角形
题型：综合题
