问题详情:
P、Q、M、N四点都在椭圆x2+=1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知与共线,与共线,且・=0.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。
【回答】
本小题主要考查椭圆和直线的方程与*质,两条直线垂直的条件,两点间的距离,不等式的*质等基本知识及综合分析能力。
解:如图,由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点F(0,1),且PQ⊥MN,直线PQ、MN中至少有一条存在斜率,不妨设PQ的斜率为k,又PQ过点F(0,1),
故PQ方程为y=kx+1
将此式代入椭圆方程得
(2+k2)x2+2kx-1=0
设P、Q两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
从而 |PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
亦即 |PQ|=
(i)当k≠0时,MN的斜率为,同上可推得
|MN|=
故四边形面积
S=|PQ|・|MN|
=
=
令,得
因为
当时,u=2,S=,
且S是以u为自变量的增函数,
所以
(ii)当k=0时,MN为椭圆长轴,|MN|=,|PQ|=,
S=|PQ|・|MN|=2.
综合(i),(ii)知,四边形PMQN面积的最大值为2,最小值为。
知识点:圆锥曲线与方程
题型:计算题